É possível o conhecimento completo?

by

“Entre os matemáticos, até o início do Século XX, havia a certeza da possibilidade de se colocar toda a Matemática em bases axiomáticas, isto é, de unificar todos os campos desta disciplina num corpo lógico e coerente, que pudesse responder e provar todas as perguntas que viessem a ser formuladas. O matemático e filósofo Bertrand Russel escreveu Principia Matemática entre 1910-1913, como uma tentativa. Houve também o Formalismo de Hilbert e várias outras tentativas. Entretanto, em 1931, Kurt Gödel, um matemático-lógico nascido na Áustria, publicou um artigo que viria a mudar por completo todo o conceito que se tinha, até então, sobre a Matemática. O famoso Teorema da Incompleteza de Gödel. O Teorema de Gödel, não se aplica somente à Matemática, mas também à Linguagem, à Música, ao Ordenamento Jurídico (no Direito) ou a qualquer sistema no qual, partindo-se de um axioma (uma verdade auto-evidente), possa-se deduzir relações lógicas, perfeitamente válidas.

Teorema da Incompleteza

Vamos entender de forma simples este teorema, mas antes temos que nos familiarizar com alguns conceitos. Qualquer sistema que processe e comunique informação faz uso de uma simbologia, de um alfabeto de caracteres que possa ser ordenado e facilite a informação. O alfabeto da Matemática é constituído pelos números, a saber, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 que representam as quantidades e outros símbolos também são utilizados para descrever as relações (sintaxe) entre esses caracteres (números), tais como = ,+ , -, x etc. Na linguagem comum temos as letras A, B, C,…, X, Y, Z (maiúsculas e minúsculas) que representam os fonemas e outros sinais tais como  !, ? , o hífen etc. Na Música temos as notas musicais dó, ré, mi, fá, sol, lá, si que representam sons e os sinais próprios da sintaxe musical. A simbologia em si não é importante e o Teorema de Gödel trabalha as idéias, embora demonstre as limitações do sistema utilizando-se dos símbolos.

Na Linguagem, a partir do alfabeto de letras, podemos construir palavras, as frases, parágrafos, estabelecer regras gramaticais, e de sintaxe. Podemos ainda fazer proposições, e demonstrar a validade ou não dessas proposições. Uma proposição é uma declaração construída com base nos elementos deduzidos no nosso sistema e pode ser verdadeira ou falsa. Para que possamos provar a validade ou não de uma declaração, esta deve estar consoante com a lógica do sistema, ou seja, não pode estar em conflito com qualquer elemento lógico-deduzido. A isto se chama consistência interna do sistema axiomático. A consistência de uma proposição está no fato de que ela está de acordo com a dedução lógica (axiomática) dos elementos do sistema. No caso da Linguagem, a consistência de qualquer proposição, é a aderência desta aos elementos deduzidos, quais sejam, às regras ortográficas, semânticas, gramaticais etc. Qualquer sistema assim construído denomina-se um sistema lógico-formal. Ao analisarmos a Matemática, como sistema (embora possamos fazê-lo com qualquer outra linguagem) a unidade, representada pelo número 1, é um axioma ou um conceito que não se pode definir inicialmente, mas que aceitamos como verdadeiro sem necessidade de demonstração e a partir da qual, os outros números, o conceito de soma, seqüência, subtração, multiplicação, etc. são logicamente deduzidos, demonstráveis e todo sistema pode assim ser construído e as proposições consistentes podem ser formuladas. Assim 2+2=4 é uma proposição que se pode demonstrar ser verdadeira e consistente. Em todo sistema lógico-formal existem proposições que se pode provar serem verdadeiras, falsas, consistentes ou inconsistentes. Um sistema é dito completo quando toda e qualquer proposição pode ser provada (verdadeira ou falsa) com os elementos deduzidos no sistema, sem a necessidade de se buscar um argumento fora do sistema ou em outro sistema, para a demonstração da veracidade ou não da proposição. O que Gödel prova em seu teorema é que “em todo e qualquer sistema lógico-formal sempre haverá proposições consistentes que não se poderá provar serem verdadeiras ou falsas” ou dito de outra maneira “não existe um sistema lógico-formal completo, no qual toda proposição consistente se possa  provar  ser  verdadeira  ou  falsa”.

O Teorema de Gödel assegura que não existe um sistema completo. Sempre haverá proposições que para prová-las ou entendê-las precisamos “importar” elementos de fora deste sistema. Mesmo que nosso sistema seja aprimorado com elementos externos e fique mais completo que antes, ainda assim, haverá proposições que não poderão ser provadas com os elementos disponíveis deste sistema aprimorado. Em outras palavras, a Matemática (ou qualquer outro sistema) é incompleta e incompletável!

O Teorema da Incompleteza de Gödel, hoje, tem grande aplicabilidade na computação. Entretanto, o que é mais interessante é o fato de que jamais teremos um supercomputador que tudo saiba, que seja onisciente. Suponha que tenhamos um computador que conheça uma quantidade X de informações. Como ele baseia todas as suas operações em seu sistema interno, que é lógico-formal, sempre haverá uma pergunta ou declaração que nosso supercomp não poderá decidir ser verdadeira ou falsa. Suponha que tenhamos um computador mais aprimorado, de última geração e que tenha incorporado o que seu antecessor não “sabia”. Ainda assim haverá proposições que este novo computador não poderá decidir, se verdadeira ou falsa. Muito menos ele poderá “intuir” algo novo, externo ao seu sistema, pois isso seria contrário à consistência axiomática de seu sistema interno, pois um sistema lógico-formal tem que ser consistente. Alan Turing, trabalhando alguns resultados do Teorema de Gödel, descobriu que existem números e funções que não podem ser computados por nenhuma máquina lógica. Recentemente, Gregory Chaitin, um matemático da IBM, enfatizou que a combinação dos trabalhos de Gödel e Turing impõe limitações fundamentais à Matemática.

A  mente, entretanto,  consegue “importar” pelo  raciocínio,  inspiração  ou  intuição  conceitos  e  idéias  além  do  que  tinha  como  conhecimento  ou  referência. Isto  demonstra  que  a  mente  ou  melhor,  aquele  que  dela  se  utiliza, está  além da  estrutura  concebível  que  compreende  o  mundo.”

J. R. Araújo

http://www.ideariumperpetuo.com/epistemologia.htm

Deixe uma Resposta

Preencha os seus detalhes abaixo ou clique num ícone para iniciar sessão:

Logótipo da WordPress.com

Está a comentar usando a sua conta WordPress.com Terminar Sessão / Alterar )

Imagem do Twitter

Está a comentar usando a sua conta Twitter Terminar Sessão / Alterar )

Facebook photo

Está a comentar usando a sua conta Facebook Terminar Sessão / Alterar )

Google+ photo

Está a comentar usando a sua conta Google+ Terminar Sessão / Alterar )

Connecting to %s


%d bloggers like this: